Following up on his two previous works, The Principles of Natural Knowledge and The Concept of Nature, Whitehead explains his alternative theory of relativity, which "cuts away the casual heterogeneity" of Einstein's later theory. Dividing his book into three parts--General Principles, Physical Applications, and Elementary Theory of Tensors--the author's arguments and observations utilize his own unique mix of nature, philosophy, and "the old division between physics and geometry." This work, first published in 1922, is essential reading for students, teachers, scientists, or anyone interested in the relationship of physics to philosophy. English mathematician and philosopher ALFRED NORTH WHITEHEAD (1861-1947) contributed significantly to 20th-century logic and metaphysics. With Bertrand Russell he cowrote the landmark Principia Mathematica, and also authored The Concept of Nature, The Function of Reason, and Process and Reality.

Der 'Discours de la méthode', 1637 anonym publiziert, gilt als das erste und wirkmächtigste Manifest des neuzeitlichen Rationalismus und wissenschaftlichen Methodenbewußtseins. Beachtenswerter noch als die von Descartes angeführten vier Regeln selbst, die er als die Grundregeln für die methodische Erlangung wahrer Erkenntnis heraushebt, erscheint aus heutiger Sicht die autobiographische Perspektive, aus der heraus der Autor das breite Publikum dafür gewinnen will, ihm auf seinem Wege zu folgen, der ihn zu der Entdeckung einer universalen wissenschaftlichen Methode und von lediglich auf die autonome Vernunft gegründeten metaphysischen Prinzipien aller Wissenschaften geführt habe. Die Neuausgabe bietet neben dem französischen Text und einer völlig neu erstellten deutschen Übersetzung die erstmals ins Deutsche übersetzte frühe Traumerzählung 'Olympica 'sowie den späten 'Brief an Picot', der 1647 der französischen Ausgabe der 'Principia philosophiae 'vorangestellt war - beide geben wichtige Zeugnisse der Selbsterläuterung Descartes' ab. Mit der Einbeziehung dieser Supplemente spannt der Band einen Bogen von Descartes' frühesten Texten von 1619 über den 'Discours 'von 1637 bis zu den 'Principes 'von 1647 und dokumentiert so die Stadien der Entwicklung seines Denkens. Die Einleitung des Herausgebers zielt auf den Nachvollzug und die Aufhellung, wie der programmatische Ansatz Descartes' »von außen« einzuschätzen ist, was die Entwicklung dieses Denkens »von innen« bestimmte - und was uns Descartes verschwieg.

Die Akustik ist ein Gebiet, das erstaunlicherweise in der wissenschaftshistorischen Literatur nur relativ selten zu finden ist. Darstellungen langerer Epochen in der Entwicklung dieses Fachgebietes haben noch groBeren Seltenheitswert. Nach dem Zweiten Weltkrieg erschien bisher lediglich F.V. HUNTS "Origins in acoustics", das im wesentlichen die Zeitepoche von der Antike bis NEWTON beschreibt. Ein Buch, das in gewisser Weise aIs eine Fortsetzung betrachtet werden kann, ist CANNON/DoSTROVSKYS "The evolution of dynamics: Vibration theory from 1687 to 1742". Es setzt jedoch gemlill seinem Titel ganz bestimmte Akzente. Mit NEWTONS "Principia" von 1687 beginnt eine Periode ausgesprochen theoretischer Forschung auf dem Gebiet der Akustik, fUr die Namen wie z.B. TAYLOR, SAUVEUR, EULER, D'ALEMBERT, JOHANN und DANIEL BERNOULLI Zeugnis ablegen. Dieses Uberwiegen der Theorie wird 1787 mit dem Auftreten CHLADNIS wieder zugunsten des Experiments verschoben. Da es tiber die Tatigkeit der eben genannten Forscher bereits einige ausfUhrliche DarsteIlungen gibt, beginnt die detaillierte Betrachtung in diesem Buch erst im Erscheinungsjahr von CHLADNIS Erstlingswerk. Ziel dieses Buches ist es, nicht nur die akustischen Arbeiten CHLADNIS zu beschreiben, sondem auch seinen Einflull auf die Forschung bis in die Mitte des 19.

Die nicht-numerische Informationsverarbeitung mit Hilfe von Rechen automaten begann in den frühen fünfziger Jahren. 1950 befaßte sich SHANNON mit Schachprogrammen, 1952 schrieb RUTISHAUSER seine bahnbrechende Arbeit über automatische Rechenplanfertigung und begründete damit die Entwicklung der formalen Sprachen. Etwa um die gleiche Zeit veröffentlichte D. H. LEHMER, angeregt durch die Bedürfnisse der Kernphysiker, die bis jetzt gebräuchlichste Methode zur Erzeugung von Zufallszahlen auf Rechenautomaten. Damit standen Zufallszahlen auch für nicht-numerische Anwendungen zur Verfügung. 1953 wurde die Sprache FORTRAN publiziert, 1960 die Sprache ALGOL. Im gleichen Jahr ließ H. WANG 220 Sätze aus den Principia mathematica in 3 Minuten von einem Rechenautomaten beweisen, 196:3 entstanden die ersten Computographien von }( NAKE. Die Anregung, das rasch wachsende Gebiet in einer deutschen Buchveröffent lichung darzustellen, geht auf Herrn Direktor Dr. W. SCHWABL vom Springer Verlag Wien zurück. Bald zeigte sich hierbei, daß ein einzelner Autor nicht imstande sein würde, das Gebiet in seiner ganzen Vielfalt darzustellen, und zwar selbst dann nicht, wenn die rein kommerzielle nicht-numerische Datenverarbeitung ausgeklammert würde. Damit entstand der Gedanke, eine Arbeitsgemeinschaft von Autoren ins Leben zu rufen, die jeweils eine zusammenfassende Darstellung über ihr eigenes Arbeitsgebiet geben sollten.

World-renowned physicist and bestselling author Stephen Hawking presents a revolutionary look at the momentous discoveries that changed our perception of the world with this first-ever compilation of seven classic works on physics and astronomy. His choice of landmark writings by some of the world's great thinkers traces the brilliant evolution of modern science and shows how each figure built upon the genius of his predecessors. On the Shoulders of Giants includes, in their entirety, On the Revolution of Heavenly Spheres by Nicolaus Copernicus; Principia by Sir Isaac Newton; The Principle of Relativity by Albert Einstein; Dialogues Concerning Two Sciences by Galileo Galilei with Alfonso De Salvio; plus Mystery of the Cosmos, Harmony of the World, and Rudolphine Tables by Johannes Kepler. It also includes five critical essays and a biography of each featured physicist, written by Hawking himself.

Die nicht-numerische Informationsverarbeitung mit Hilfe von Rechen automaten begann in den frühen fünfziger Jahren. 1950 befaßte sich SHANNON mit Schachprogrammen, 1952 schrieb RUTISHAUSER seine bahnbrechende Arbeit über automatische Rechenplanfertigung und begründete damit die Entwicklung der formalen Sprachen. Etwa um die gleiche Zeit veröffentlichte D. H. LEHMER, angeregt durch die Bedürfnisse der Kernphysiker, die bis jetzt gebräuchlichste Methode zur Erzeugung von Zufallszahlen auf Rechenautomaten. Damit standen Zufallszahlen auch für nicht-numerische Anwendungen zur Verfügung. 1953 wurde die Sprache FORTRAN publiziert, 1960 die Sprache ALGOL. Im gleichen Jahr ließ H. WANG 220 Sätze aus den Principia mathematica in 3 Minuten von einem Rechenautomaten beweisen, 196:3 entstanden die ersten Computographien von }( NAKE. Die Anregung, das rasch wachsende Gebiet in einer deutschen Buchveröffent lichung darzustellen, geht auf Herrn Direktor Dr. W. SCHWABL vom Springer Verlag Wien zurück. Bald zeigte sich hierbei, daß ein einzelner Autor nicht imstande sein würde, das Gebiet in seiner ganzen Vielfalt darzustellen, und zwar selbst dann nicht, wenn die rein kommerzielle nicht-numerische Datenverarbeitung ausgeklammert würde. Damit entstand der Gedanke, eine Arbeitsgemeinschaft von Autoren ins Leben zu rufen, die jeweils eine zusammenfassende Darstellung über ihr eigenes Arbeitsgebiet geben sollten.

World-renowned physicist and bestselling author Stephen Hawking presents a revolutionary look at the momentous discoveries that changed our perception of the world with this first-ever compilation of seven classic works on physics and astronomy. His choice of landmark writings by some of the world's great thinkers traces the brilliant evolution of modern science and shows how each figure built upon the genius of his predecessors. On the Shoulders of Giants includes, in their entirety, On the Revolution of Heavenly Spheres by Nicolaus Copernicus; Principia by Sir Isaac Newton; The Principle of Relativity by Albert Einstein; Dialogues Concerning Two Sciences by Galileo Galilei with Alfonso De Salvio; plus Mystery of the Cosmos, Harmony of the World, and Rudolphine Tables by Johannes Kepler. It also includes five critical essays and a biography of each featured physicist, written by Hawking himself.

The awe-inspiring Sunday Times Bestseller from astronaut Tim Peake Shortlisted for the British Book Award 2018 'Amazing . . . A brilliant book' Chris Evans, BBC Radio 2 Have you ever thought of becoming an astronaut? Ask an Astronaut is Tim Peake's personal guide to life in space, based on his historic Principia mission, and the thousands of questions he has been asked since his return to Earth. How does it feel to orbit the earth ten times faster than a speeding bullet? What's it like to eat, sleep and go to the toilet in space? And where to next - the moon, mars or beyond? From training to launch, historic spacewalk to re-entry, Tim has a fascinating answer to everything you ever wanted to know. He reveals for readers of all ages the extraordinary secrets, cutting-edge science, and everyday wonders of life onboard the International Space Station. 'Everything you ever wanted to know about life in space' Times

Die Arbeit stellt sich zur Aufgabe, die Philosophieauffassung Kants, Newtons und Schopenhauers in ihren Geltungsansprüchen kritisch zu betrachten und in Richtung auf ein hypothetistisches Metaphysik- und Wissenschaftsverständnis hin zu analysieren. Um Kants Wissenschaftsmetaphysik angemessen zu verstehen, ist es unerläßlich, seine werkschichtlichen Rezeptionsspuren zu Newton freizulegen. Kant philosophiert im methodischen Denkstrom der mathematischen Naturphilosophie Newtons. Doch die epochale Sonnenseite der Principia mathematica hat auch eine Schattenseite, und dieser Schatten fällt auch auf Kants Transzendentalphilosophie. Es ist Newtons Hypothesophobie, sein hypothesenfeindliches Wissenschaftsverständnis, zu dem sich auch Kant bekennt. Diese Hypothesenfeindlichkeit steht in einem eigentümlichen Gegensatz zu dem transzendentalhypothetischen Charakter von Kants Philosophie. Kant stellt seine streng wissenschaftliche Metaphysikgrundlegung zunächst als Hypothese dar. Dieses Hypothesenzugeständnis bleibt aber nicht die letztgültige Programmerklärung der Metaphysik. Vor dem Gerichtshof der reinen Vernunft nämlich hat Kant in puncto Gewißheit oder Hypothese sich selbst das Urteil gesprochen: Der hypothetische Anfangscharakter wird suspendiert, da alles, was bei der Grundlegung der Metaphysik als strenge Wissenschaft einer Hypothese nur ähnlich sieht, "verbotene Ware sei," die um jeden Preis zu beschlagnahmen sei. Schopenhauers Antwort auf Kants Vernunftmetaphysik dagegen ist die Formulierung einer hypothetischen Metaphysik auf empirischer Grundlage, die auf Apriorität und Apodiktizität ihrer Kernaussagen verzichtet. Im Gegensatz zu Kant wird bei Schopenhauer nicht Logik und Experimentalphysik, sondern Physiologie und Anthropologie zur Grundlage der Erkenntniskritik.

Die Arbeit stellt sich zur Aufgabe, die Philosophieauffassung Kants, Newtons und Schopenhauers in ihren Geltungsansprüchen kritisch zu betrachten und in Richtung auf ein hypothetistisches Metaphysik- und Wissenschaftsverständnis hin zu analysieren. Um Kants Wissenschaftsmetaphysik angemessen zu verstehen, ist es unerläßlich, seine werkschichtlichen Rezeptionsspuren zu Newton freizulegen. Kant philosophiert im methodischen Denkstrom der mathematischen Naturphilosophie Newtons. Doch die epochale Sonnenseite der Principia mathematica hat auch eine Schattenseite, und dieser Schatten fällt auch auf Kants Transzendentalphilosophie. Es ist Newtons Hypothesophobie, sein hypothesenfeindliches Wissenschaftsverständnis, zu dem sich auch Kant bekennt. Diese Hypothesenfeindlichkeit steht in einem eigentümlichen Gegensatz zu dem transzendentalhypothetischen Charakter von Kants Philosophie. Kant stellt seine streng wissenschaftliche Metaphysikgrundlegung zunächst als Hypothese dar. Dieses Hypothesenzugeständnis bleibt aber nicht die letztgültige Programmerklärung der Metaphysik. Vor dem Gerichtshof der reinen Vernunft nämlich hat Kant in puncto Gewißheit oder Hypothese sich selbst das Urteil gesprochen: Der hypothetische Anfangscharakter wird suspendiert, da alles, was bei der Grundlegung der Metaphysik als strenge Wissenschaft einer Hypothese nur ähnlich sieht, "verbotene Ware sei," die um jeden Preis zu beschlagnahmen sei. Schopenhauers Antwort auf Kants Vernunftmetaphysik dagegen ist die Formulierung einer hypothetischen Metaphysik auf empirischer Grundlage, die auf Apriorität und Apodiktizität ihrer Kernaussagen verzichtet. Im Gegensatz zu Kant wird bei Schopenhauer nicht Logik und Experimentalphysik, sondern Physiologie und Anthropologie zur Grundlage der Erkenntniskritik.

Das Problem der Grundlegung der Ethik wurde am Anfang dieses Jahrhunderts mit der Frage nach der "naturalistic fallacy" in England 1 und durch einen phänomenologischen Versuch auf Grund der Werttheorie auf dem Kontinent 2 wiederum zu einem der brennenden Themen der gegenwärtigen philosophischen Be­ sinnung. Während es als ein zentrales Problem in der deutschen Philo­ sophie seit Nicolai Hartmanns "Ethik" in Vergessenheit geraten und durch die "Existenzphilosophie" fast abgelöst zu sein scheint, drängt sich die philosophische Besinnung auf dieses Problem in Großbritannien und den Vereinigten Staaten auf der Basis der neu entwickelten "analytischen Philosophie" bis heute weiter in den Vordergrund 3. Die wichtigsten Ergebnisse ihrer scharfsinni­ gen Analyse bieten vielleicht für unsere Fragestellung eine ganz neue Perspektive. Damit ist aber nicht gesagt, daß jene "analy­ tisch-philosophischen Bestrebungen" die Frage nach dem Problem der Grundlegung der Ethik schon klar und eindeutig beantwortet hätten, sondern nur, daß sie die Streitfrage nun viel präziser her­ ausgestellt haben. Dabei handelt es sich einerseits um die Bestim­ mung des Wesens von sittlich "Gut" und "Böse" und der Werte überhaupt, worüber sich "Intuitionisten" und "Reduktionisten" 1 Wie wohl schon bekannt ist, hob G. E. Moore die "naturalistic fallacy" in seinem Werk Principia Ethica (S. 6-17 u. a. ) hervor und glaubte, die naturalistischen sowie die metaphysischen Reduktionismen damit zurückzuweisen und einen utilitaristischen Intuitionismus zu begründen. S Wenn auch verschiedene Versuche von den Neukantianern sowie von Franz Brentano unternommen worden sind, muß man Max Scheler auf diesem Gebiet den den Ausschlag gebenden Beitrag zusprechen.

Studienarbeit aus dem Jahr 2011 im Fachbereich Mathematik - Sonstiges, Note: 1,0, Universität Konstanz, Sprache: Deutsch, Abstract: Das 20. Jahrhundert war Zeuge der Setzung eines Marksteins in der Geschichte der Logik und Mathematik durch eine Arbeit, über deren Autor mancher gar sagt, er sei der größte Logiker seit Aristoteles. Im Jahre 1931 veröffentlicht der junge Mathematiker Kurt Gödel überraschend diese relativ kurze Abhandlung mit dem Titel ¿Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme¿. Auch wenn die wissenschaftliche Gemeinschaft nicht sofort den gesamten Gehalt von Gödels Werk erkannte, so werden doch die von ihm gezogenen Schlüsse heutzutage weitgehend als revolutionierend und von grundlegender philosophischer Bedeutung angesehen (Nagel/Newman 2007). Es ist das Ziel der vorliegenden Arbeit, durch eine Briefbemerkung Gödels angedeutete philosophische Implikationen seiner in jenem Fachartikel erbrachten (mathematischen) Hauptergebnisse, die sich in dem sogenannten Unvollständigkeitssatz manifestieren, aufzuzeigen und zu erläutern (Kap. 3). Dafür soll jedoch zunächst das Wesentliche respektive der allgemeine Charakter von Gödels Beweisführung herausgestellt werden (Kap. 2.1), damit nachvollzogen werden kann, auf welche geniale Weise er seine Erkenntnisse gewann, um darauf aufbauend zu einer Einschätzung und Würdigung seiner Arbeit zu gelangen (Kap. 2.2), die ein Kernproblem der Grundlagen der Mathematik in Angriff nimmt. In diesem Sinne wird knapp umrissen, inwieweit Gödels Argumentation und die daraus folgenden Unvollständigkeitssätze bahnbrechend für die Mathematik waren.

Das Problem der Grundlegung der Ethik wurde am Anfang dieses Jahrhunderts mit der Frage nach der "naturalistic fallacy" in England 1 und durch einen phänomenologischen V ersuch auf Grund der Werttheorie auf dem Kontinent 2 wiederum zu einem der brennenden Themen der gegenwärtigen philosophischen Be­ smnung. Während es als ein zentrales Problem in der deutschen Philo­ sophie seit Nicolai Hartmanns "Ethik" in Vergessenheit geraten und durch die "Existenzphilosophie" fast abgelöst zu sein scheint, drängt sich die philosophische Besinnung auf dieses Problem in Großbritannien und den Vereinigten Staaten auf der Basis der neu entwickelten "analytischen Philosophie" bis heute weiter in den Vordergrund 3. Die wichtigsten Ergebnisse ihrer scharfsinni­ gen Analyse bieten vielleicht für unsere Fragestellung eine ganz neue Perspektive. Damit ist aber nicht gesagt, daß jene "analy­ tisch-philosophischen Bestrebungen" die Frage nach dem Problem der Grundlegung der Ethik schon klar und eindeutig beantwortet hätten, sondern nur, daß sie die Streitfrage nun viel präziser her­ ausgestellt haben. Dabei handelt es sich einerseits um die Bestim­ mung des Wesens von sittlich "Gut" und "Böse" und der Werte überhaupt, worüber sich "Intuitionisten" und "Reduktionisten" 1 Wie wohl schon bekannt ist, hob G. E. Moore die "naturalistic fallacy" in seinem Werk Principia Ethica (5. 6-x7 u. a. ) hervor und glaubte, die naturalistischen sowie die metaphysischen Reduktionismen damit zurückzuweisen und einen utilitaristischen Intuitionismus zu begründen. 2 Wenn auch verschiedene Versuche von den Neukantianern sowie von Franz Brentano unternommen worden sind, muß man Max Scheler auf diesem Gebiet den den Ausschlag gebenden Beitrag zusprechen.

Dies ist die aktuelle Ausgabe der Schrift, Ausgabe 4. In dem Heft wird der Versuch gemacht, alleine durch naturphilosophische Betrachtungen zu einem konsistenten geometrisch-physikalischen Raum- und Zeit-Bild zu gelangen. Voraussetzung sind die Definitionen von Raum und Zeit aus der Principia von Newton, sowie die zu Newtons Zeit lange bekannte Geometrie von Euklid von Alexandria. Das Bild, das sich so ergibt, führt über die Raum-Zeit-Basis der Klassischen Physik bis zur Grundlage für den Einstieg in die Spezielle Relativitätstheorie. Es wird klar, wo die naturphilosophischen Unterschiede in den Denkansätzen liegen, die zur Entwicklung der beiden Theoriefelder in der Physik führen. Vorausgesetzt wird ein Grundverständnis von elementarer Geometrie, und immer wieder ist die gedankliche Vorstellung gegenseitig bewegter Bezugssysteme wichtig, die sich gegenseitig durchdringen. Ansonsten kommen alle Betrachtungen ganz ohne "rechnende" Mathematik aus. Die kleine Naturphilosophie schließt mit einem Kapitel, in dem gezeigt wird, wie sich Quantenobjekte in das zuvor präsentierte Raum-Zeit-Bild einfügen lassen. Aber dadurch entsteht auch eine krasse Widerspruchs-Situation für das Gesamtbild. Es zeigt sich, dass die Klassische Physik inklusive der Relativitätstheorie mit der Quantenphysik nur schwer vereinbar ist. Widersprüche verlangen nach Lösungen! Die physikalische Naturphilosophie bleibt spannend. Ein mathematischer Anhang erweitert schließt das Heft ab. Er ist gänzlich losgelöst von der naturphilosophischen Betrachtung des Haupttextes zu sehen und gibt die mathematischen Formeln an, die zum philosophisch diskutierten Kontext dieser Schrift gehören. Ein interessierter Leser kann damit ein vollständigeres Bild der Anfangsgründe der Speziellen Relativitätstheorie erhalten und anhand einfacher Rechenbeispiele auch quantitative Eindrücke relativistischer Effekte gewinnen.

As a mathematician, philosopher, logician, historian, socialist, pacifist, and social critic, Bertrand Russell is noted for his "revolt against idealism" in Britain in the early 20th century, as well as his pacifist activism during WWI, a campaign against Adolf Hitler and later the United States' involvement in the Vietnam War. In addition to his political activism, he is considered to be one of the founders of analytic philosophy, receiving the Nobel Prize in Literature in 1950 for his various humanitarian and philosophical works. He wrote his "Introduction to Mathematical Philosophy" in order to elucidate in a less technical way the main ideas of his and N. A. Whitehead's earlier "Principia Mathematica". The work focuses on mathematical logic as related to traditional and contemporary philosophy, of which Russell remarks, "logic is the youth of mathematics and mathematics is the manhood of logic." It is regarded today as a lucid, accessible exploration of the gray area where mathematics and philosophy meet. This edition is printed on premium acid-free paper.

Im Jahr 1931 erschien im Monatsheft für Mathematik und Physik ein Artikel mit dem geheimnisvoll klingenden Titel Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I. In dieser Arbeit hat Kurt Gödel zwei Unvollständigkeitssätze bewiesen, die unseren Blick auf die Mathematik von Grund auf verändert haben. Gödels Sätze manifestieren, dass zwischen dem Begriff der Wahrheit und dem Begriff der Beweisbarkeit eine unüberwindbare Kluft besteht, die wir nicht überwinden können. Die Mathematik fügt sich in kein formales Korsett.Seit ihrer Entdeckung sind die Unvollständigkeitssätze in aller Munde und eine Flut an Büchern widmet sich ihrem fulminanten Inhalt. Doch kaum ein Werk behandelt die Gödel‘sche Arbeit in ihrer ursprünglichen Form − und dies hat triftige Gründe: Seine komplexen, in akribischer Präzision beschriebenen Argumentationsketten, die vielen Definitionen und Sätze und die heute weitgehend überholte Notation machen Gödels historisches Meisterwerk zu einer schwer zu lesenden Arbeit.In diesem Buch wird Gödels Beweis aus dem Jahr 1931 detailliert aufgearbeitet. Alle Einzelschritte werden erläutert und anhand zahlreicher Beispiele verständlich erklärt. Doch dieses Buch ist mehr als eine kommentierte Fassung der historischen Arbeit. Die Beweise der Unvollständigkeitssätze in vollem Umfang zu verstehen, bedingt, die Geschichte zu verstehen, und so versetzen zahlreiche Exkurse den Leser in die Zeit zu Beginn des zwanzigsten Jahrhunderts zurück. Es ist die Zeit, in der die Mathematik die größte Krise ihrer Geschichte durchlebte, die Typentheorie und die axiomatische Mengenlehre Gestalt annahmen und sich Hilberts formalistische Logik und Brouwers intuitionistische Mathematik mit offenem Visier gegenüber standen.

Im Jahr 1931 erschien im Monatsheft für Mathematik und Physik ein Artikel mit dem geheimnisvoll klingenden Titel Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I. In dieser Arbeit hat Kurt Gödel zwei Unvollständigkeitssätze bewiesen, die unseren Blick auf die Mathematik von Grund auf verändert haben. Gödels Sätze manifestieren, dass zwischen dem Begriff der Wahrheit und dem Begriff der Beweisbarkeit eine unüberwindbare Kluft besteht, die wir nicht überwinden können. Die Mathematik fügt sich in kein formales Korsett.Seit ihrer Entdeckung sind die Unvollständigkeitssätze in aller Munde und eine Flut an Büchern widmet sich ihrem fulminanten Inhalt. Doch kaum ein Werk behandelt die Gödel‘sche Arbeit in ihrer ursprünglichen Form − und dies hat triftige Gründe: Seine komplexen, in akribischer Präzision beschriebenen Argumentationsketten, die vielen Definitionen und Sätze und die heute weitgehend überholte Notation machen Gödels historisches Meisterwerk zu einer schwer zu lesenden Arbeit.In diesem Buch wird Gödels Beweis aus dem Jahr 1931 detailliert aufgearbeitet. Alle Einzelschritte werden erläutert und anhand zahlreicher Beispiele verständlich erklärt. Doch dieses Buch ist mehr als eine kommentierte Fassung der historischen Arbeit. Die Beweise der Unvollständigkeitssätze in vollem Umfang zu verstehen, bedingt, die Geschichte zu verstehen, und so versetzen zahlreiche Exkurse den Leser in die Zeit zu Beginn des zwanzigsten Jahrhunderts zurück. Es ist die Zeit, in der die Mathematik die größte Krise ihrer Geschichte durchlebte, die Typentheorie und die axiomatische Mengenlehre Gestalt annahmen und sich Hilberts formalistische Logik und Brouwers intuitionistische Mathematik mit offenem Visier gegenüber standen.

Im Jahr 1931 erschien im Monatsheft für Mathematik und Physik ein Artikel mit dem geheimnisvoll klingenden Titel Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I. In dieser Arbeit hat Kurt Gödel zwei Unvollständigkeitssätze bewiesen, die unseren Blick auf die Mathematik von Grund auf verändert haben. Gödels Sätze manifestieren, dass zwischen dem Begriff der Wahrheit und dem Begriff der Beweisbarkeit eine unüberwindbare Kluft besteht, die wir nicht überwinden können. Die Mathematik fügt sich in kein formales Korsett. Seit ihrer Entdeckung sind die Unvollständigkeitssätze in aller Munde und eine Flut an Büchern widmet sich ihrem fulminanten Inhalt. Doch kaum ein Werk behandelt die Gödel'sche Arbeit in ihrer ursprünglichen Form - und dies hat triftige Gründe: Seine komplexen, in akribischer Präzision beschriebenen Argumentationsketten, die vielen Definitionen und Sätze und die heute weitgehend überholte Notation machen Gödels historisches Meisterwerk zu einer schwer zu lesenden Arbeit. In diesem Buch wird Gödels Beweis aus dem Jahr 1931 detailliert aufgearbeitet. Alle Einzelschritte werden erläutert und anhand zahlreicher Beispiele verständlich erklärt. Doch dieses Buch ist mehr als eine kommentierte Fassung der historischen Arbeit. Die Beweise der Unvollständigkeitssätze in vollem Umfang zu verstehen, bedingt, die Geschichte zu verstehen, und so versetzen zahlreiche Exkurse den Leser in die Zeit zu Beginn des zwanzigsten Jahrhunderts zurück. Es ist die Zeit, in der die Mathematik die grösste Krise ihrer Geschichte durchlebte, die Typentheorie und die axiomatische Mengenlehre Gestalt annahmen und sich Hilberts formalistische Logik und Brouwers intuitionistische Mathematik mit offenem Visier gegenüber standen.

Dies ist die aktuelle Ausgabe der Schrift, Ausgabe 4. In dem Heft wird der Versuch gemacht, alleine durch naturphilosophische Betrachtungen zu einem konsistenten geometrisch-physikalischen Raum- und Zeit-Bild zu gelangen. Voraussetzung sind die Definitionen von Raum und Zeit aus der Principia von Newton, sowie die zu Newtons Zeit lange bekannte Geometrie von Euklid von Alexandria. Das Bild, das sich so ergibt, führt über die Raum-Zeit-Basis der Klassischen Physik bis zur Grundlage für den Einstieg in die Spezielle Relativitätstheorie. Es wird klar, wo die naturphilosophischen Unterschiede in den Denkansätzen liegen, die zur Entwicklung der beiden Theoriefelder in der Physik führen. Vorausgesetzt wird ein Grundverständnis von elementarer Geometrie, und immer wieder ist die gedankliche Vorstellung gegenseitig bewegter Bezugssysteme wichtig, die sich gegenseitig durchdringen. Ansonsten kommen alle Betrachtungen ganz ohne "rechnende" Mathematik aus. Die kleine Naturphilosophie schließt mit einem Kapitel, in dem gezeigt wird, wie sich Quantenobjekte in das zuvor präsentierte Raum-Zeit-Bild einfügen lassen. Aber dadurch entsteht auch eine krasse Widerspruchs-Situation für das Gesamtbild. Es zeigt sich, dass die Klassische Physik inklusive der Relativitätstheorie mit der Quantenphysik nur schwer vereinbar ist. Widersprüche verlangen nach Lösungen! Die physikalische Naturphilosophie bleibt spannend. Ein mathematischer Anhang erweitert schließt das Heft ab. Er ist gänzlich losgelöst von der naturphilosophischen Betrachtung des Haupttextes zu sehen und gibt die mathematischen Formeln an, die zum philosophisch diskutierten Kontext dieser Schrift gehören. Ein interessierter Leser kann damit ein vollständigeres Bild der Anfangsgründe der Speziellen Relativitätstheorie erhalten und anhand einfacher Rechenbeispiele auch quantitative Eindrücke relativistischer Effekte gewinnen.

Das Problem der Grundlegung der Ethik wurde am Anfang dieses Jahrhunderts mit der Frage nach der "naturalistic fallacy" in England 1 und durch einen phänomenologischen V ersuch auf Grund der Werttheorie auf dem Kontinent 2 wiederum zu einem der brennenden Themen der gegenwärtigen philosophischen Be­ smnung. Während es als ein zentrales Problem in der deutschen Philo­ sophie seit Nicolai Hartmanns "Ethik" in Vergessenheit geraten und durch die "Existenzphilosophie" fast abgelöst zu sein scheint, drängt sich die philosophische Besinnung auf dieses Problem in Großbritannien und den Vereinigten Staaten auf der Basis der neu entwickelten "analytischen Philosophie" bis heute weiter in den Vordergrund 3. Die wichtigsten Ergebnisse ihrer scharfsinni­ gen Analyse bieten vielleicht für unsere Fragestellung eine ganz neue Perspektive. Damit ist aber nicht gesagt, daß jene "analy­ tisch-philosophischen Bestrebungen" die Frage nach dem Problem der Grundlegung der Ethik schon klar und eindeutig beantwortet hätten, sondern nur, daß sie die Streitfrage nun viel präziser her­ ausgestellt haben. Dabei handelt es sich einerseits um die Bestim­ mung des Wesens von sittlich "Gut" und "Böse" und der Werte überhaupt, worüber sich "Intuitionisten" und "Reduktionisten" 1 Wie wohl schon bekannt ist, hob G. E. Moore die "naturalistic fallacy" in seinem Werk Principia Ethica (5. 6-x7 u. a. ) hervor und glaubte, die naturalistischen sowie die metaphysischen Reduktionismen damit zurückzuweisen und einen utilitaristischen Intuitionismus zu begründen. 2 Wenn auch verschiedene Versuche von den Neukantianern sowie von Franz Brentano unternommen worden sind, muß man Max Scheler auf diesem Gebiet den den Ausschlag gebenden Beitrag zusprechen.